Matrices

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¿Qué es una matriz?

Una matriz es una tabla rectangular de números expresados en filas y columnas. Es decir, una matriz es un conjunto bidimensional de números representados de manera ordenada. Un ejemplo de matriz es:

En general, las matrices se designan con letras mayúsculas. Y cada número de una matriz se denomina elemento.

Asimismo, el número de filas y columnas de una matriz indica su dimensión. Por ejemplo, la matriz anterior tiene 3 filas y 4 columnas, por lo que su dimensión es 3×4.

En definitiva, las matrices sirven para representar datos de manera ordenada. Por ejemplo, en matemáticas las matrices se utilizan para representar sistemas de ecuaciones, en informática para representar estructuras complejas de datos, en ingeniería para representar redes eléctricas, etc.

Te resultará útil:
➤ Calculadora de matrices

Tipos de matrices

Existen diferentes tipos de matrices:

• Matriz fila: solo tiene una fila.
• Matriz columna: solo tiene una columna.
• Matriz cuadrada: tiene el mismo número de filas que de columnas.
• Matriz rectangular: tiene un número de filas diferente que de columnas.
• Matriz nula: todos los elementos son cero.
• Matriz triangular: matriz cuadrada que todos los elementos situados por encima o por debajo de la diagonal principal son 0.
• Matriz diagonal: matriz cuadrada en la que todos los elementos que no se encuentran en la diagonal principal son nulos.
• Matriz escalar: matriz diagonal que tiene todos los elementos de la diagonal principal iguales.
• Matriz identidad: matriz diagonal en la que todos los elementos de la diagonal principal son 1.

Enlaces de interés:
➤ Ejercicios resueltos de matrices

Operaciones con matrices

Transposición de una matriz

La matriz transpuesta (o matriz traspuesta) es aquella que se obtiene al intercambiar de manera ordenada las filas de una matriz por sus columnas.

Por lo tanto, para calcular la transpuesta de una matriz, tenemos que cambiar sus filas por sus columnas. De manera que cada fila pasa a ser una columna y, asimismo, cada columna pasa a ser una fila.

Es decir, la primera fila de la matriz original es la primera columna de la matriz transpuesta, la segunda fila de la matriz original es la segunda columna de la matriz transpuesta, y así sucesivamente.

Suma y resta de matrices

Para sumar dos matrices se deben sumar los elementos que ocupan la misma posición. Por lo tanto, la fórmula para sumar matrices es la siguiente:

Para restar dos matrices se deben restar los elementos que ocupan la misma posición. Por lo tanto, dadas dos matrices de la misma dimensión A=(a_i,j) y B=(b_i,j), la fórmula para restar matrices es:

Ten en cuenta que solo se puede sumar y restar matrices si tienen la misma dimensión.

Ejercicios para practicar:
➤ Ejercicios resueltos de sumas y restas matrices

Producto de una matriz por un escalar

El producto de una matriz por un escalar se resuelve multiplicando cada uno de los elementos de la matriz por el escalar.

Multiplicación de matrices

Dos matrices son multiplicables si el número de columnas de la primera matriz es igual al número de filas de la segunda matriz.

Dadas dos matrices A y B, el resultado de la multiplicación A·B es una matriz cuyos elementos c_ij se obtienen sumando los productos de cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B.

Es importante tener en cuenta que no se pueden multiplicar todas las matrices, el único requisito es que la primera matriz debe tener el mismo número de columnas que el número de filas de la segunda matriz. Por ejemplo, si A es una matriz 2×3 y B es una matriz 2×2, no se puede multiplicar A·B pero sí que se puede calcular la multiplicación B·A.

Ejercicios para practicar:
➤ Ejercicios resueltos de multiplicaciones de matrices

Determinante de una matriz

El determinante de una matriz es una operación que se aplica sobre una matriz cuadrada (mismo número de filas que de columnas) y consiste en multiplicar y sumar los elementos de la matriz para obtener un valor numérico.

El determinante de una matriz se representa como det(A) o |A|, ya que en lugar de los paréntesis se deben poner dos rallas verticales.

Para saber más:
➤ Cómo calcular el determinante de una matriz